Rough Set && Fuzzy Property Set

ทฤษฎีและหลักการ

--- Rougth set เป็นทฤษฎีที่ถูกนำเสนอโดย Zdzislaw Pawlak ในปีค.ศ. 1982 เป็นทฤษฎีคณิตศาสตร์แนวใหม่ ที่ใช้ในการจัดการเกี่ยวกับเรื่องความคลุมเครือและความไม่แน่นอนของข้อมูลซึ่งทฤษฎีนี้จะอิงพื้นฐานในเรื่องเกี่ยวกับปัญญาประดิษฐ์ (AI : Artificial Intelligence) เป็นสัมคัญและเป็นทฤษฎีที่สัมพันธ์และอยู่ในขอบเขตในแนวทางเดียวกันกับการศึกษาเกี่ยวกับเรื่องการเรียนรู้ (achine learning) , การวิเคราะห์การตัดสินใจ (Decision Analysis) , การค้นหาความรู้ที่ต้องการจากฐานข้อมูล (Knowledg Discovery from Database) , ระบบผู้เชียวชาญ (Expert System) และอื่นๆ

--- Fuzzy set ถูกนำเสนอโดย Lotfi A. Zadeh ในปี 1965 โดยที่ฟัซซีเซตเป็นแนวทางในการแสดงถึงลักษณะความคลุมเ--ครือไม่ชัดเจน(Vagueness) ทั้งนี้ หลักการของฟัซซี่เซตได้ขยายหลักการของดั้งเดิม (Crisp set) โดยการกำหนดขอบเขตในการแบ่งความเป็นสมาชิกและไม่เป็นสมาชิกของข้อมูลี่เราสนใจอย่างชัดเจนมากยิ่งขึ้น

--- และจากคุณสมบัติของทั้งสองทฤษฎีที่กล่าวถึงข้างต้นทำให้สามารถนำมาสร้างเป็นหลักการและกระบวนการต่างๆได้ ดังขั้นตอนต่อไปนี้

--- 1. การนำตัวอย่างข้อมูลมาแยกคุณสมบัติ และ ผลลัพธ์ของคุณสมบัติ ของข้อมูลในรูปแบบของตาราง ซึ่งจะทำให้เราสามารถเห็นความคลุมเครือของข้อมูลได้ง่ายขึ้น

--- 2.จากลักษณะของข้อมูลที่มีความคลุมเครือและขัดแย้งกันของข้อมูล เราจะใช้ทฤษฎีของราฟเซตมาช่วยลดความคลุมเครือของข้อมูลซึ่งจะทำให้เราได้ผลลัพธ์ 2 อย่าง คือ ผลลัพธ์ที่หนึ่งเรียกว่า การประมาณขอบเขตล่าง (lower approximation) ซึ่งจะได้กลุ่มตัวอย่างของข้อมูลที่ไม่คลุมเครือแน่นอน และ ผลลัพธ์ที่สองเรียกว่า การประมาณขอบเขตบน (upper approximation) ซึ่งจะได้กลุ่มตัวอย่างข้อมูลที่มีความเป็นไปได้ว่าจะเป็นผลลัพธ์ที่ 1

--- 3.จะมีการนำตัวอย่างฐานข้อมูลจากขั้นตอนที่ 1 โดยการนำค่าของข้อมูล (attribute) ที่อยู่ในแต่ละคุณสมบัติมากำหนดเป็นค่าระดับความเป็นสมาชิก(degree of membership) ของผลลัพธ์ ตามค่าข้อมูลที่มีอยู่ในตาราง โดยอาศัยหลักการแบบจำลองคุณสมบัติแบบฟัซซี่เซต (fuzzy property set model) เพื่อให้เกิดการแบ่งขอบเขตของความเป็นสมาชิกและไม่เป็นสมาชิกของคุณสมบัติในแต่ละผลลัพธ์

--- 4.นำข้อมมูลต่างๆจากข้อสามที่มีการกำหนดค่าระดับความเป็นสมาชิกเรียบร้อยแล้วมาทดลองโดยใช้หลักการผสมผสานระหว่างทฤฎีของราฟเซตและฟัซซี่เซตเพื่อทำการเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ในขั้นตอนที่หนึ่งโดยการใช้สมการการวัดคุภาพ ของการประมาณขอบเขตบนและสมการวัดคุณภาพของการประมาณขอบเขตล่าง โดยสามารถหาได้จากการนำจำนวนสมาชิกในขอบเขตล่างหารด้วยจำนวนตัวอย่างข้อมูลั้งหมด และในส่วนคุณภาพของการประมาณขอบเขตบนก็สามารถคำนวณได้ในทำนองเดียวกันคือนำสมาชิกในขอบเขตบนหารด้วยจำวนตัวอย่างข้อมูลทั้งหมด

ทฤษฎีของราฟเซต

--- กำหนดให้ set U เป็นเซตจำกัด และ U <> Ø โดยที่เซต U เป็นเซตของสิ่งที่เราสนใจ ให้ X เป็นสับเซตของ U โดยที่ X เป็นกลุ่มของข้อมูลที่อยู่ใน U และเป็นสมาชิกของแนวคิด (concept) ใน U ที่สามารถกล่าวอ้างถึงความรู้ (knowledge) ที่ต้องการ
--- กำหนดให้ R (equivalence relation) แทนความสัมพันธ์ที่กำหนดขึ้นมา โดยอ้างอิงสิ่งที่เราสนใจ (U) เพื่อให้ได้ความรู้ (knowledge) ที่เกิดขึ้น
--- กำหนดให้ x เป็นสมาชิกที่อยู่ในความสัมพันธ์ที่ตั้งขึ้น(R) โดยอิงสิ่งที่สนใจ(U) เพื่อให้ได้ความรู้ซึ่งสามารถเขียนเป็นสัญญาลักษณ์ได้ว่า [x]R
หลักการของ Rough set จะใช้วิธีการประมาณค่า (approximation) จากข้อมูลที่มีอยู่ โดยที่ความสัมพันธ์ของข้อมูลกลุ่มแรกที่ได้จากการประมาณเรียกว่า lower approximation หรือ R-lower และความสัมพันธ์ของข้อมูลกลุ่มที่สองที่ได้จากการประมาณเรียกว่า upper approximation หรือ R-upper ซึ่งสามารถเขียนเป็น 2 ซับเซตได้ว่า

------------------------------- RX = {x ε U : [x]R ⊆ X] --- (1)

------------------------------- RX = {x ε U : [x]R ∩ X ≠ Ø] --- (2)

โดยที่
RX หรือ R-lower หรือบางครั้งเรียกว่า R-positive region of X หรือเรียกว่า lower approximation ซึ่งก็คือเซตของข้อมูลทั้งหมดของสิ่งที่สนใจและสามารถนิยามขึ้นได้แน่นอนจากแนวคิดของสมาชิก X ที่สร้างขึ้น
RX หรือ R-upper หรือบางครั้งเรียกว่า R-negative region of X หรือเรียกว่า upper approximation ซึ่งก็คือเซตของข้อมูลทั้งหมดของสิ่งที่สนใจที่มีความเป็นไปได้ที่จะทำการนิยามขึ้นมาจากแนวความคิดของสมาชิก X ที่สร้างขึ้นเช่นเดียวกัน

การใช้หลักการของฟัซซี่พร็อพเพอตี้เซต (Fuzzy Property Set : FPS) ในการอธิบายออบเจ็กต์

------- วิธีการของ FPS นั้นถูกนำมาเสนอโดย M.Hadjimichael เพื่อใช้ในการอธิบายถึงออบเจ็กต์หรือตัวอย่างข้อมูลที่มีลักษณะเป็นฟัซซี่ โดยกำหนด Q = { Θ1 , Θ2 , Θ3 , .. ,Θm} เป็นเซตของออบเจ็กต์ในเอกสัมพัทธ์ โดยที่ออบเจ็กต์ Θi เป็นออบเจ็กต์ใดๆที่มีค่าคุณสมบัติ (property) เป็น ∏i และมีค่าดีกรีบอกความเป็นคุณสมบัติคือ αij ซึ่งทำให้สามารถสร้างตารางแสดงถึงตัวอย่างข้อมูลที่สนใจ (Θi) ที่สนใจ , คุณสมบัติต่างๆ (πi) และค่าข้อมูลที่เป็นค่าดีกรีบอกความเป็นคุณสมบัติของ (αij) นั้น ได้

กำหนดให้ c คือ atomic concept หรือแนวคิดที่สร้างขึ้น
β คือดีกรีของ atomic concept ในฟัซซี่เซตทำให้สามารถเขียนความสัมพันธ์ของเซต atomic concept ที่เป็น fuzzy ได้ว่า

{(α , { (β, c) })} = {(δ , c)} ----------- (3)

โดยที่ δ= 1−α +β (2α−1) ซึ่ง (δ, c) หมายถึงเซตของ atomic concept ที่เป็นฟัซซี่และมีดีกรีเป็น δ และค่า α จะมีค่าเป็น 0 , 1 และค่าที่อยู่ในช่วง 0,1 ซึ่งสามารถเขียนเป็นการคำนวณได้ว่า

ถ้า α = 1 จะได้ว่า {(1 , { (β, c) })} = {(β, c)}

ถ้า α = 0 จะได้ว่า {(0 , { (β, c) })} = {(1 -β, c)}

ถ้า α =.5 จะได้ว่า {(.5 , { (β, c) })} = {(.5, c)}

ดังนั้นสามารถเขียนความสัมพันธ์ของ Θ ในเทอมของ atomic concept ที่เป็นฟัซซี่เซต ได้ว่า

--------- 4


เมื่อกำหนดให้


------- 5

หลักการผสมผสานระหว่างราฟเซตและฟัซซี่เซต
จากสมการที่ 4 สามารถนำมาใช้ในการช่วยหาค่า fuzzy upper approximation : FUA และ fuzzy lower approximation : FLA ในเทอมของ atomic concept ได้ว่า

โดยที่
A คือ fuzzy upper approximation
A คือ fuzzy lower approximaiton

ทั้งสมการ 6, 7 สามารถนำมาใช้ในการจัดการในเรื่องของความคลุมเครือกันของข้อมูลได้ อีกทั้งยังช่วยในการประมาณค่าขอบเขตล่างและการประมาณขอบเขตบนในทฤษฎีของราฟเซตให้มีประสิทธิภาพมายิ่งขึ้นและยังสามารถใช้ทฤษฎีนี้ในการพิจรณาค่าของคุณสมบัติ πj ใน atomic concept หลายๆ atomic concept ได้ในเวลาเดียวกัน ทำให้มีประโยชน์ในกรณีที่ต้องการพิจรณาค่าคุณสมบัติหลายๆคุณสมบัติควบคู่กันไปในเวลาเดียวกันได้ด้วย